M17 Analyse numérique

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Plan du cours

Chapitre 0 : Introduction à la modélisation et à l’analyse numérique.

Chapitre 1 : Représentation numérique sur ordinateurs

  1. Les sources d’erreur dans le calcul numérique
  2. Représentation des entiers sur ordinateur
  3. Représentation en virgule flottante (Représentation des réels, précision machine)
  4. Calculs sur les nombre flottants (Mesures de l’erreur, erreurs d’arrondi, opérations machine, non associativité des opérations arithmétiques).

Chapitre 2 : Résolution des systèmes linéaires

  1. Motivations
  2. Rappels sur les matrices (opérations sur les matrices, matrices particulières, déterminant)
  3. Méthode de Cramer, contraintes pratiques de la méthode de Cramer
  4. Méthodes directes
  5. Résolution des systèmes triangulaires
  6. Méthode d’élimination de Gauss et décomposition LU
  7. Méthode de Cholesky
  8. Méthode de Householder
  9. Conditionnement de matrices
  10. Méthodes itératives
  11. Méthode de Jacobi
  12. Méthode de Gauss-Seidel
  13. Méthodes de relaxation.

Chapitre 3 : Calcul numérique d’intégrales

  1. Objectifs
  2. Rappels sur le calcul intégral
  3. Formules de quadrature
  4. Méthodes des rectangles
  5. Méthode des trapèzes
  6. Méthode de Simpson
  7. Méthode de Romberg
  8. Estimation de l’erreur des méthodes.

Chapitre 4 : Résolution numérique des équations différentielles

  1. Motivations
  2. Méthode d’Euler explicite et implicite
  3. Méthode de Crank-Nicolson
  4. Consistance, stabilité, convergence des méthodes à un pas
  5. Méthodes de Runge-Kutta d’ordre 2.

Chapitre 5 : Résolution des équations

  1. Position du problème
  2. Principe de la méthode des approximations successives
  3. Méthode de Newton
  4. Théorème du point fixe
  5. Ordre de la méthode
  6. Accélération de la convergence
  7. Méthode de la fausse position
  8. Méthode de Dichotomie

Chapitre 6 : Interpolation polynomiale

  1. Le cas général
  2. Position du problème de Lagrange
  3. L’algorithme d’Aitken
  4. Cas particulier: les xi sont régulièrement répartis
  5. L’opérateur de différence croissante
  6. Formule de Newton
  7. Les différences divisées
  8. Estimation de l’incertitude
  9. Choix des xi au mieux
  10. Polynômes de Tchebecheff
  11. L’interpolation d’Hermite

Chapitre 7 : Introduction à la meilleure approximation

  1. Que signifie meilleure approximation?
  2. Espace vectoriel normé
  3. Le problème fondamental de l’approximation linéaire
  4. Approximation au sens de Tchebecheff
  5. Approximation au sens des moindres carrés discrets
  6. Le lissage

Notes de cours et TDs

Chapitre 6

LSD2-M17-Ch6-InterpolationPolynomiale0

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